同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢
数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以
络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕
今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？
答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶
粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。
〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即
粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重
今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘
前法而并除之也。〕
今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者
追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者
之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。
〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行
一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一
百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕
今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善
行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。
术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善
行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。
〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓
之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，
即得也。其意如上术也。〕
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行
几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘
犬追步数为实。实如法得一步。
〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百
五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步
为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕
今有
持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。
问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。
术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法
得一钱。
〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者
也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税，
则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，
十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕
今有客马，
行三百里。客去忘持衣。已三分之一，主乃觉。持衣追及，
与之而还；至家视四分之三。问主马不休，行几何？答曰：七百八十里。
术曰：置四分之三，除三分之一，
〔按：此术“置四分之三，除三分之一”者，除，其减也。减之余，有
十二分之五，即是主追客还用率也。〕
半其余，以为法。
〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主
与客均行用之率也。〕
副置法，增三分之一。
〔法二十四分之五者，主往追用之分也。三分之一者，客去主未觉之
前独行用之分也。并连此数，得二十四分之十三，则主追及前用之分也。
是为客用率也。然则主用率者，客马行率也；客用率者，主马行率也。
母同则子齐，是为客马行率五，主马行率十三。于今有术，三百里为所有数，
十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕
以三百里乘之，为实。实如法，得主马一行。
〔欲知主追客所行里者，以三百里乘客用分子十三，以母二十四而一，
得一百六十二里半。以此乘客马与主均行分母二十四，如客马与主均行用
分子五而一，亦得主马一行七百八十里也。〕
今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重
几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤
八两。次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。
副置，以差率减之，每尺各自为衰。
〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以
四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。
今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上
第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕
副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。
〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘
一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为
法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕
今有五分五钱，令上二所得与下三等，问各得几何？答曰：甲得一钱
六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之
四。
术曰：置钱，锥行衰。
〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，
为一列者也。〕
并上二为九，并下三为六。六少于九，三。
〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕
以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
〔此问者，令上二与下三等，上、下部差一，其差三。均加上部，则
得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一，差得三，以通于本率，即上、下
部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有
之，即得等耳。假令七分七钱，欲令上二与下五等，则上、下部差三。
并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均
减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二分二钱半为上率，令下三分二钱半为
下率。上、下二率以少减多，余为实。置二、三，各半之，减五，余为法。
实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？
答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十
六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分
升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三
十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。
〔此二率者，各其平率也。〕
上、下率以少减多，余为实。
〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中
间五节半之凡差，故以为实也。〕
置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。
〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半
之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕
下率一升少半升者，下第二节容也。
〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕
今有凫起南海，七至北海；雁起北海，九至南海。今凫、雁俱起，问何
相逢？答曰：三十六分之十五。
术曰：并数为法，数相乘为实，实如法得一。
〔按：此术置凫七一至，雁九一至。齐其至，同其，定六十三凫九
至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢。
故“并数为法”者，并齐之意；“数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：
凫飞行七分至之一，雁飞行九分至之一。齐而同之，凫飞定行六十三分至
之九，雁飞定行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫行九分，雁
行七分也。并凫、雁一所行，以除南北相去，而得相逢也。〕
今有甲发长安，五至齐；乙发齐，七至长安。今乙发已先二，甲乃发
长安，问几何相逢？答曰：二十二分之一。
术曰：并五、七，以为法。
〔按：此术“并五、七为法”者，犹并齐为法。置甲五一至，乙七
一至。齐而同之，定三十五甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五也。
谓甲、乙与发之率耳。然则化为至，当除，故以为法也。〕
以乙先发二减七，
〔“减七”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕
也。
余，以乘甲数为实。
〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。
以乘甲五，为二十五。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五也。
实如法得一。
〔一甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定行三十五分至
之七，乙定行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲行七分，乙行
五分也。今乙先行发二，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二，余，令
相乘，为二十五分。〕
今有一一为牝瓦三十八枚，一一为牡瓦七十六枚。今令一一作
瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。
术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。
〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁飞相并也。按：此术
“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实
如法，即得也。〕
今有一一矫矢五十，一一羽矢三十，一一摐矢十五。今令一
一自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。
术曰：矫矢五十，用徒一；羽矢五十，用徒一太半；摐矢五十，用徒
三少半。并之，得六，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。
〔按：此术言成矢五十，用徒六，一工也。此同工其作，犹凫、雁共至
之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一为齐，矢相乘为同。今先令同于
五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九而一至，凫
飞九而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九为实。—
—实如法而一，得一成矢之数也。〕
今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一
百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。
术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱
乘之，为实。实如法得一亩。
〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初
假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数，
同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫
雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。
淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。
并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六
十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕
今有程耕，一一发七亩，一一耕三亩，一一耰种五亩。今令一
一自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之
六十六。
术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘数，并，以为法。亩数相乘为实。实如
法得一亩。
〔此犹凫雁术也。
淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘者，齐其；亩数相乘者，同
其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五，耕用三十五，种
用二十一。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一一所治，
故以数为法除之，即得也。〕
今有池，五渠注之。其一渠开之，少半一满，次一一满，次二半一满，
次三一满，次五一满。今皆决之，问几何满池？答曰：七十四分之十五。
术曰：各置渠一满池之数，并，以为法。
〔按：此术其一渠少半满者，是一三满也；次一一满；次二半满者，
是一五分满之二也；次三满者，是一三分满之一也；次五满者，是一
五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕
以一为实，实如法得一。
〔此犹矫矢之术也。先令同于一，同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有
二术焉，可随率宜也。〕
其一术：各置数及满数。
〔其一渠少半满者，是一三满也；次一一满；次二半满者，是五
二满；次三一满，次五一满。此谓之列置数及满数也。〕
令互相乘满，并，以为法。数相乘为实。实如法得一。
〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半满池者，是一三满池也；次一一
满；次二半满者，是五再满；次三一满；次五一满。此谓列置数于右
行，及满数于左行。以互乘满者，齐其满；数相乘者，同其。满齐而同，
故并齐以除同，即得也。〕
今有持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五
斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、
六相互乘为法。实如法得一斗。
〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、
四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。
又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税
之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。
又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置
一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，
七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、
六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。
于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕
今有持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五
而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三
两四铢五分铢之四。
术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。
实如法得一斤。
〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘，
为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相
乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，
凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子
五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除
之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕
